EIG005 8-dimensionales Packen

0:00 Ja, hallo zusammen! Hier ist wieder der Eigenraum, begrüße euch, freue mich, dass ihr wieder eingeschaltet habt, wenn ich euch hier ein bisschen was über Mathe erzähle und heute geht's in höhere Dimensionen. Und eigentlich wollte ich ja immer mittwochs erscheinen, habe ich mir zumindest für den Anfang so vorgenommen, aber das ist jetzt schon mal nichts geworden, da ich keine Stimme hatte und auch viele Sachen zu tun. Naja, aber spätestens im Oktober, wenn ich wieder meine vier Live-Shows pro Woche, die sogenannten Vorlesungen mache, werde ich sowieso keinen wöchentlichen Rhythmus mehr einhalten können, aber ich produziere euch hier Folgen so schnell es geht und es die Stimme zulässt. Und jetzt

0:39 ist die Stimme wieder da und deswegen gibt es auch wieder einen neuen Eigenraum, also willkommen dazu! Heute geht's, wie gerade gesagt, um höhere Dimensionen und auch einen tollen Preis, einen Preis für Mathematik. Und als erstes möchte ich mit euch ein kleines Gedankenexperiment machen, also ein bisschen selber nachdenken. Und mit den hohen Dimensionen ist das echt, echt manchmal ganz schön verwirrend. Und deswegen machen wir jetzt erstmal einen kleinen Versuch, eine kleine Rechnung, eine kleine Knobelzeit. Huch, was war das denn?

1:16 Das war jetzt einmal von meinen neuen Einspielern. Ich habe mal ein bisschen rumprobiert, ich wollte mal ein bisschen mit der Zeit gehen. Ich habe auch festgestellt, dass die Podcasts, wo Leute alleine reden, viele solche Einspieler haben oder irgendwelche O-Töne und dachte, ich probiere das auch mal aus. Na gut, es war vielleicht noch ein bisschen anfängermäßig, aber mal sehen, wie weit ich damit komme. Rapopos Technik. Ich versuche jetzt auch, Podcasts sind natürlich ein Audioformat, aber das, was jetzt kommt, da muss man sich so ein bisschen was vorstellen. Und um euch das Vorstellen zu erleichtern, könnt ihr auch mal auf die Bilder schauen, die euch euer Podcast-Player anzeigt, wenn euer Podcast-Player

1:54 das unterstützt. Die enthalten so ein paar Visualisierungen von dem, was ich hier erzähle. Und wenn da gar nichts angezeigt wird, sondern irgendwie nur das Podcast-Logo oder so, dann braucht ihr irgendwie einen anderen Podcast-Player. Müsst ihr euch mal ein bisschen umschauen, wo Kapitelbilder angezeigt werden. Okay, also jetzt geht es los mit der, nochmal, ich muss das nochmal machen.

2:27 So, also wir machen eine Rechnung, in der ich euch zeige, dass in höheren Dimensionen komische, verrückte Sachen passieren können. Okay? Und wir fangen mal ganz einfach an, in einer schönen Dimension, die wir uns vorstellen können, nämlich Dimension 2. Dimension 2 heißt also so ein ebenes Blatt Papier oder so, also eine Ebene, die vor uns liegt. Und wir stellen uns vor, wir haben vier Kreise der gleichen Größe. Sagen wir mal Radius 1. Also vier Kreise, die einen Radius 1, Durchmesser 2 haben. Und wir legen die so aneinander, dass die so ein schönes Quadrat bilden, die Mittelpunkte. Also wir legen zwei von diesen Kreisen nebeneinander, sodass die sich berühren. Und dann noch zwei nebeneinander, direkt da

3:12 drunter, sodass die Kreise so ein Quadrat bilden. Und das könnt ihr jetzt auch auf eurer Podcast-App ein Bild davon sehen. So, dann sind diese vier Kreise jetzt enthalten in einem Quadrat der Seitenlänge. Rechnen wir mal kurz nach. Der Radius ist 1 von einer Kugel, der Durchmesser 2. Und die Kantenlänge des Quadrats, was die vier Kreise umschließt, ist demzufolge 4. Okay, also haben wir ein Quadrat der Kantenlänge 4. Und in der Mitte zwischen den vier Kreisen ist jetzt noch Platz für einen kleinen Kreis. Und ich will jetzt mal berechnen, was der Radius von dem kleinen Kreis ist. Und dann will ich das Ganze in höheren Dimensionen machen. Und um den Radius des kleinen Kreises zu berechnen, schaue

4:02 ich mir die Diagonale des Quadrats an. Die Diagonale des Quadrats hat die Länge nach Pythagoras, die können wir mit dem Satz von Pythagoras ausrechnen, indem wir eine Kante ist 4 und noch eine Kante ist 4. Also kriegen wir 4 Quadrat plus 4 Quadrat ist das Quadrat von der Diagonale nach dem Satz von Pythagoras. Und 4 Quadrat plus 4 Quadrat ist 2 mal 4 Quadrat, ist also die Länge der Diagonale Wurzel 2 mal 4. Und jetzt rechnen wir den Radius der kleinen Kugel aus, indem wir uns diese Diagonale mal anschauen. Wenn wir auf der Diagonalen lang laufen, dann passt in die, sagen wir mal, wir fangen links unten an, in die linke untere Ecke, würde auch noch so eine kleine Kugel passen. Ich könnte mir ja dieses Muster

4:54 der kleinen Kugeln fortgesetzt vorstellen, würde links unten noch eine kleine Kugel passen. Also um genau zu sein, würde dort in unser ursprüngliches Quadrat ein Viertel von dieser kleinen Kugel passen. Und die würde auch wieder die linke untere Kugel berühren. Das heißt, auf der Diagonale, wenn ich so von der Diagonale entlang marschiere, habe ich erstmal einen Radius der kleinen Kugel, dann einen Radius der großen Kugel, wenn ich in der großen Kugel drin bin, noch einen Radius der großen Kugel. Jetzt bin ich durch die linke untere große Kugel durchmarschiert. Jetzt kommt direkt die kleine Kugel, also der Kreis. Wenn ich Kugel sage, meine ich jetzt immer Kreis, aber gleich sind es Kugeln in höheren Dimensionen. Das ist wirklich so eine Betriebskrankheit und da zahlt keine

5:30 Krankenkasse für. Ich denke an das allgemeine Konzept und egal, wenn es n-dimensional ist, würde ich es immer Kugel nennen und dann würde es zurück übertragen, obwohl ich für eine zweidimensionale Kugel das spezielle Wort Kreis habe, sage ich trotzdem einfach Kugel. Ja, tut mir leid, aber kann ich nichts gegen machen. Aber zurück zu unserer Berechnung.

5:49 Also wir sind links unten losmarschiert, haben einen Radius der kleinen Kugel, dann die beiden Radien der großen Kugel, dann kommt die kleine Kugel, also zwei Radien von der, dann kommen wieder zwei Radien von der nächsten größeren Kugel und dann passt nochmal genau ein Radius von so einer kleinen Kugel hin. Insgesamt habe ich also vier Radien von der großen Kugel und vier Radien von der kleinen Kugel. Okay, habe das alles mitgerechnet?

6:16 Habe ich mich ja auch nicht verrechnet. Also vier mal der große Radius plus vier mal der kleine Radius. Jetzt kann ich, ergibt die Länge der Diagonale, die Wurzel 2 mal 4 ist. Also bekomme ich für den kleinen Radius Wurzel 2 minus 1, weil ich erst die ganze Gleichung durch 4 teile und dann bleibt Wurzel 2 minus 1 ist so ungefähr 0,4 als Radius für die kleine Kugel über. Okay, soweit so gut. Jetzt machen wir das Ganze dreidimensional oder gleich n-dimensional. Ach, wir schaffen das schon gleich n-dimensional. Jetzt nehmen wir einen Würfel. Wer möchte, kann sich das einfach dreidimensional vorstellen. Ich stelle mir das eigentlich auch genau dreidimensional vor. Jetzt nehmen wir einen Würfel und arrangieren

7:01 in so einem n-dimensionalen Würfel 2 hoch n Kugeln mit Radius 1. Und wir sind n-dimensional. Also z.B. im zweidimensionalen habe ich 2 hoch 2 gleich 4 Kreise platziert. Im dreidimensionalen platziere ich 2 hoch 3 gleich 8 Kugeln an den Ecken eines Würfels oder in die Ecken eines dreidimensionalen Würfels. Und in 9 Dimensionen platziere ich eben 2 hoch 9 gleich 512 Kugeln an die Ecken des neundimensionalen Würfels. Und es entsteht wieder so eine Konfiguration.

7:37 Die dreidimensionale Variante davon könnt ihr jetzt auf dem Kapitelbild sehen. Es entsteht wieder so eine Konfiguration, wo in die Mitte eine Kugel passt, die dann alle anderen Kugeln berührt. Und ich will wieder den Radius der kleinen Kugel berechnen, die so groß ist, dass sie noch genau in das Loch in der Mitte reinpasst. Und das mache ich wieder über die Diagonale. Dazu muss ich erstmal wissen, wie lang die Diagonale im n-dimensionalen Würfel ist. Und das kann man auch mit dem Pythagoras sich ganz leicht überlegen. Wir hatten ja eben die Diagonale im Quadrat schon ausgerechnet. Jetzt stellen wir uns das Quadrat als Boden vor. Und die Raumdiagonale, da benutzen wir einen Satz von Pythagoras mit so einer Diagonale

8:15 im Boden und dann noch einer Kante, die hoch geht. Also müssen wir Wurzel 2 mal 4 plus noch eine Wurzel 2 mal 4 ins Quadrat plus noch eine 4 Quadrat ergibt diese Diagonale ins Quadrat. Also haben wir im dreidimensionalen einfach Wurzel 3 mal 4 als die Länge der Diagonalen. Und das kann man einfach so fortsetzen und bekommt für den n-dimensionalen Würfel eine Länge von Wurzel n mal 4. Für unseren Würfel der Kantenlänge 4 haben wir eine Länge der Diagonale Wurzel n mal 4. Und auf dieser Diagonalen befinden sich jetzt genau wie vorher 4 Radien von der großen Kugel und 4 Radien von der kleinen Kugel. Und was passiert jetzt? Der Radius von der großen Kugel ist 1 und für den Radius von der kleinen Kugel bleibt dann noch übrig Wurzel n minus 1. Der Radius der kleinen Kugel ist Wurzel

9:17 n minus 1. Und jetzt was komisches passiert. Wurzel n, das wächst ja in der Dimension. Also der Radius der großen Kugel, der ist immer 1. Also meine ganz vielen großen Kugeln, die ich mir eben noch als große Kugel vorgestellt habe, die haben immer den Radius 1. Ich nehme nur immer mehr davon. Je höher die Dimension, desto mehr davon muss ich nehmen. Aber der Radius der kleinen Kugel, der wächst mit n, der wächst mit der Dimension. Okay, Wurzel n minus 1, Wurzel n minus 1. Da könnte ich ja mal für n eine Zahl einsetzen, die eine Quadratzahl ist. Zum Beispiel 9 ist eine Quadratzahl. Wurzel aus 9 ist also 3 minus 1 ergibt 2. Moment mal, das heißt bei Dimension 9 hat die kleine Kugel den Radius 2 und den Durchmesser 4.

10:06 Das heißt schon den doppelten Radius von den vormals großen Kugeln. Also diese Kugel, die in die Mitte reinpasst, die hat immer mehr Platz. Und in Dimension 9 ist es genau so, dass die den Rand von diesem umgebenden Quadrat schon berührt. Aber es wird noch schlimmer. In Dimension 10 hat meine Wurzel 10 minus 1 ist schon mehr als 2. Das heißt in Dimension 10 ragt die schon über dieses umgebende Quadrat hinaus. Also in Dimension 10 habe ich 1024 Kugeln an den Ecken von meinem Quadrat und in der Mitte passt noch eine kleine Kugel rein und die ragt über diesen Würfel hinaus. Und das ist so ein ganz kurioser Dimensionseffekt. Also ich habe da ganz schön Schwierigkeiten, mir das vorzustellen.

10:52 Ihr auch? Ich hoffe, ihr konntet der Rechnung ein bisschen folgen. Also man nimmt wieder die Diagonale, schaut sich an, was da für Radien kommen. Also die Diagonale lässt sich füllen mit viermal dem Radius der Eckkugel und viermal dem Radius der Mittelkugel und man bekommt eben, dass die Mittelkugel immer größer wird, je größer die Dimension ist.

11:12 Verrückt, oder? Das Ganze soll jedenfalls verdeutlichen, dass man mit hohen Dimensionen aufpassen muss. Ich erzähle gerne am Anfang vom Studium, im Mathe-Studium, dass höhere Dimensionen eigentlich genauso behandelt werden wie niedrige Dimensionen. Man hat dann statt dem r hoch 3, unserem dreidimensionalen Raum, hat man den r hoch n und da rechnet man eben nach genau den gleichen Gesetzen, Vektorraumgesetzen oder so und hat einfach n Dimensionen statt 3. Aber diese ganze, wie die Mathematik funktioniert, ist gleich. Aber irgendwie ist es doch nicht immer so. Man hat doch Sondereffekte. Und worüber ich jetzt erzählen will, sind Kugelpackungen.

11:52 Kugelpackungen bedeutet, dass man Kugeln nimmt und die versucht, gleich große Kugeln, sagen wir mal, und die versucht, so dicht wie möglich zu packen. Ich habe schon mal einen Podcast darüber gemacht. Ich habe nämlich noch einen anderen Podcast, der heißt Piece genau 3 mit der Petra Schwer zusammen. Und da gibt es auch eine Folge, die heißt Orangenstapeln, die habe ich auch mal verlinkt. Und da geht es um das Kugelpackungsproblem im dreidimensionalen Raum. Ist auch eine ziemlich interessante Geschichte, die ihr euch mal anhören könnt.

12:18 Weil die beste Art und Weise, Kugeln im dreidimensionalen Raum, also zum Beispiel Schneebälle für eine Schneeballschlacht oder Orangen, die man verkaufen will, wenn die alle gleich groß sind, zu stapeln, die ist schon seit dem 17. Jahrhundert bekannt. Und es ist auch nicht so schwer. Man nimmt einfach so, man macht einfach so eine zweidimensionale Lage, die so dicht wie möglich ist. Die sieht so aus wie, wenn man da drauf schaut, wie das, was wir eben gemacht haben im zweidimensionalen. Also man nimmt einmal die Kugeln und packt die so in so ein rechtwinkliges Gitter. Und letztendlich entstehen da so Mulden. Legt man die Mulden Orangen rein, dann legt man da wieder so ein Gitter drauf und gibt es ganz schöne Visualisierungen

13:00 auf Wikipedia. Und man stellt fest, dass man damit mit der optimalen Packung 74 Prozent des Raums mit Kugeln füllen kann. Und die Frage war lange Zeit, ob das wirklich das Beste ist oder ob es noch eine bessere Packung gibt. Und hierbei geht es jetzt immer darum, dass dieses, es gibt jetzt keinen Rand oder keine Kiste, in die man die Kugeln reinpacken will, sondern man untersucht so ein Muster, das sich in alle Richtungen beliebig weit fortsetzt. Also das Interessante an der Geschichte ist, dass der Beweis, dass das die optimale Packung ist, so wie die Leute es schon seit dem 17. Jahrhundert vermutet haben und machen, dass der wirklich optimal ist. Der erfordert einen heftigen Computereinsatz und wurde von

13:42 Thomas Hales geführt, erst im Ende des 20. Jahrhunderts oder Anfang des 21. Weiß ich nicht mehr so genau. Aber das könnt ihr dann in dieser Folge Orangen stapeln. Mal hören. Worauf ich jetzt noch hinaus will, ist, dass man dieses Packungsproblem, wie packt man Kugeln, dass man es eben auch in höheren Dimensionen betrachten kann. Und jetzt auf einmal kommt es einem gar nicht mehr so komisch vor, dass da irgendwas seltsames passieren kann. Zum Beispiel in Dimensionen 8, 9 oder 10. Denn wie wir gerade in unserer kleinen Rechnung in der Knobelzeit gesehen haben, verhalten sich höhere Dimensionen, gerade bei solchen Einschätzungen, wie verhalten sich die Volumina von Würfeln im Vergleich zu den Volumina von Kugeln und wie lassen sich Kugeln arrangieren, kann eben nochmal

14:24 was komisches passieren. Jetzt denkt man vielleicht, dass es nicht so praktisch ist, 8-dimensionale Orangen zu stapeln oder 8-dimensionale Schneebälle. Ist jetzt nicht wirklich praxisrelevant für das Stapeln von irgendwelchen Dingen. Aber wie es bei der Mathematik immer so ist, findet man auch dafür irgendwelche Anwendungen. Oder man will es einfach wissen, um generell Techniken zu entwickeln, um solche Probleme behandeln zu können, unabhängig von der Dimension. Und man kann zum Beispiel auch an Datenübertragung denken. Und was man da packt, sind Informationen. Die Informationen liegen irgendwie so an den Mittelpunkten der Kugeln, könnte man sich vorstellen. Und man will die irgendwie so packen, dass beim Übertragungsfehler

15:01 da wird so eine Information vielleicht ein Stück verrückt innerhalb der Kugel. Aber hinterher will man immer noch sagen, zu welcher Information, zu welcher Kugel man eigentlich jetzt was empfangen hat, im Rahmen von so einer Fehlerdetektion oder Fehlerkorrektur. Und es ist auf jeden Fall nützlich und praktisch, da bessere Methoden zu entwickeln für auch hochdimensionale Kugelpackung. Obwohl das natürlich dann technisch irgendwie manchmal doch ganz andere Probleme sind. Aber es hat jedenfalls damit zu tun. Und wenn man erstmal so ein schönes Problem gefunden hat, dann will man natürlich wissen, wie es geht. Am liebsten in jeder Dimension. Und man kann versuchen, dieses n-dimensionale Packen genauso

15:37 wie das dreidimensionale Packen aufzubauen. Man nimmt immer die in einer Dimension niedriger, so wie wir das dreidimensionale Packen gemacht haben. Wir nehmen eine Lage, eine zweidimensionale Lage, legen noch was drauf und dann nehmen wir wieder eine zweidimensionale Lage. Also wir bauen das dreidimensionale Packen aus zweidimensionalen Packen auf. Und so kann man auch das achtdimensionale Packen zum Beispiel so aufbauen, dass man erst siebendimensional packt und dann mehrere Schichten davon macht, die irgendwie geeignet zusammenpassen. Und hier ist es beim Packen eben genauso, dass in Dimension 8 was Neues passiert. Also man nimmt, es gibt so eine Standardpackung, die läuft unter dem Label A8, was auch immer

16:19 das jetzt sein mag, was das immer für ein A sein mag. Und genau in Dimension 8 passiert sowas wie in unserer kleinen Knobelaufgabe am Anfang, dass in Löcher, die es in dieser Packung, in dieser Standardpackung gibt, auf einmal noch genau eine Kugel reinpasst. Und es entsteht eine neue Packung. Wenn man dann diese ganzen Löcher mit noch mehr Kugeln füllt, bekommt man eine hochsymmetrische Packung, die genau ab Dimension 8 möglich ist und existiert. Und dieses Arrangement von Kugeln und diese Symmetrie läuft unter dem Label E8. E8 ist so ein geheimes Codewort. Wenn ihr mal auf einer Party mit lauter Mathematikerinnen seid, dann könnt ihr einfach mal E8 sagen und gucken, was passiert. Da sind manche ganz

17:06 aus dem Häuschen und können lange Geschichten erzählen. Es ist eben so eine Symmetrie, die in ganz vielen Bereichen der Mathematik auftaucht, Gruppentheorie, Wurzelsysteme und eben auch hier in den Packungsproblemen. Und diese E8-Packung, die hatte man schon entdeckt. Und da war es wieder so, dass man eine Vermutung hatte, dass die die optimale Packung ist. Und die konnte erst 2016 bewiesen werden. Und interessanterweise gab es vorher schon einen Beweis, dass wenn es noch eine bessere Packung gibt als diese E8-Packung in 8 Dimensionen, dann kann die nur um einen Faktor 0,000000000000000000000000000000000000000 und dann eine 1, also 0,0000000000000000000000000000000000000000000 besser sein. Also die Dichte, das Verhältnis

18:02 von wo ist Kugel und wo ist Luft in 8 Dimensionen, von der optimalen Packung kann höchstens um 0,0000000000000000000000000000000 Prozent besser sein, als die von der E8 Packung. Also ich denke für jede und jeden die vielleicht aus einem praktischen Standpunkt aussehen, auch wenn es 8 Dimensional ist, würde man denken okay, das sieht auch sehr danach aus ist ob das das Optimum ist und selbst wenn ist das irgendwie nicht mehr relevant. Denn wenn man packen will dann nimmt man einfach dieses E8 und nimmt diesen kleinen Fehler mit auf. Aber für die Mathematik ist das natürlich nicht ausreichend. Das Problem ist nicht gelöst. Man will es on the nose. Man will wissen ist E8 optimal oder nicht und es stellt sich heraus E8 ist optimal. 2016 wurde das bewiesen von Marina Vyasovska,

18:49 einer ukrainischen Mathematikerin und dafür hat sie in diesem Jahr die Fields Medaille bekommen 2022. Das ist so ziemlich das Beste was es an Mathematikpreisen gibt. Also ein besonderer Mathematikpreis, der alle vier Jahre ungefähr viermal vergeben wird und den kann man nur kriegen, wenn man noch unter 40 ist. Das ist so eine komische Regel, die ja eine gewisse Tradition hat, die ich jetzt hier vielleicht nicht reproduzieren will, aber sie führt zumindest dazu, dass nicht nur sehr alte Leute auf die große Bühne kommen wie beim Nobelpreis. Das ist also irgendwie ganz charmant an dieser Regel. Also Marina Vyasovska hat 2013 promoviert, also ihre Doktorarbeit abgeschlossen, übrigens in Bonn am MPI für Mathematik und dann 2016 dieses Durchbruchsresultat erreicht, dass das E8

19:39 eben die optimale Packung ist und diese 0,000001% besser doch gar nicht mehr gehen können. Und damit war das Problem dann wirklich gelöst. Also der Durchbruch, okay, also diese, dass es nicht besser als 0,000001% besser als E8 geht, das war auch schon ein ziemlich gutes Ergebnis, was auch in Annals of Mathematics erschienen ist, dem besten Mathematikjournal, wenn man das so sagen kann. Aber jetzt wissen wir, es geht eben wirklich nicht besser.

20:06 So und das war auch schon die Geschichte der hohen Dimensionen. Es gibt noch eine Variante davon, bei der man versuchen will, Kugeln zu packen, eine endliche Anzahl von Kugeln und da passieren auch ganz interessante Sachen in höheren Dimensionen, unter anderem eine sogenannte Wurstkatastrophe, aber das ist eine Geschichte für eine andere Folge.

20:28 Dann sage ich heute erstmal Tschüss und hoffe, ihr schaltet bald wieder ein und wir hören uns dann oder ihr hört mich. Also bis bald. Tschüss!