EIG011 Graphentheorie

0:00 Ja, hallo zusammen! Ich begrüße euch an den Empfangsgeräten. Hier ist der Eigenraum. Ich bin Thomas, ich bin Mathematiker und mache euch hier einen kleinen Mathe-Podcast, weil ich denke, dass es nicht genug Mathe-Podcasts gibt. Und heute erzähle ich euch eine kleine Geschichte, die beginnt mit der U-Bahn-Karte von London, der sogenannten Tube Map. Die habt ihr bestimmt alle schon mal gesehen, oder? Das ist so eine ikonische Karte der Untergrundbahn in London. Da hat jede Linie so eine bestimmte Farbe und man kann sehen, wo man von welcher Linie in welche Linie umsteigen kann, wie die Haltestellen heißen. Und ich tue euch auch mal in diese kleinen Kapitelbildchen so ein Bild von der Karte. Die hat eigentlich jeder schon mal gesehen, die

0:45 wurde von Harry Beck 1933 entworfen. Das ist so ein legendäres Design und viele Karten von Transportsystemen, die man heutzutage kennt, orientieren sich daran. So ein paar Stilelemente, die zum Beispiel immer wieder gern genommen werden, ist dass Linien, die dann irgendwo hingehen, einfach so als gerade Linien zum Rand der Karte laufen. Auch wenn die natürlich in Wirklichkeit nicht gerade sind oder vielleicht auch mal so ein bisschen in die Richtung wechseln oder sich Schlangenlinien förmlich durch irgend so ein Gebiet winden, laufen die dann einfach gerade in irgendeine Himmelsrichtung davon und in immer gleichen Abständen kommen die Haltestellen, sodass man immer schön den Namen der Haltestelle auch noch daneben schreiben kann und so weiter. Und diese

1:33 Karte, die legendäre London Tube Map und deren Verwandte, deren Updates, die haben ein bisschen seltsame Eigenschaften, die auch schon so manches Spielchen in London für die Touristinnen und Touristen hervorgebracht haben. Und die Spiele gehen so, dass man versucht, zwischen zwei Haltestellen sich so schnell wie möglich zu bewegen. Eine Person macht es vielleicht zu Fuß oder aus einer Kombination aus zu Fuß und Tube und eine andere Person benutzt eben die Suche eines kurzen Pfades auf dieser U-Bahn-Karte. Und da kann man ganz komische, kuriose Überraschungen erleben. Also dann sieht man zwei Stationen, die sind auf der Karte der U-Bahn, auf der Tube Map, vielleicht durch einen Umstieg sogar noch verbunden. Also man fährt eine Station auf der einen Linie, steigt nochmal

2:22 oben, fährt eine Station auf der anderen Linie, obwohl oben an der Oberfläche die beiden Stationen nur 250 Meter auseinander sind. Also kann man eine 250 Meter Laufstrecke durch 15 Minuten U-Bahn fahren und in irgendwelchen Schlangen stehen, ersetzen. Und woran das liegt, ist, dass die U-Bahn-Karte nicht alle Informationen enthält. Zum Beispiel sind die Abstände, die wirklichen Abstände an der Oberfläche zwischen den einzelnen U-Bahn-Stationen nicht abgebildet, nicht maßstabsgerecht abgebildet. Die U-Bahn-Karte enthält nur die Information, wo die Linien laufen, natürlich die Namen der Stationen, wo sich Linien kreuzen, wo Umsteigemöglichkeiten bestehen und dann eben noch einige Informationen, wo ist Norden, welche Station ist nördlicher als

3:16 welche Station, welche Station ist südlicher. Es enthält also auch einige Ortsinformationen, aber diese Ortsinformationen treten in den Hintergrund und es bleibt nur so eine, wie man sagt, eine topologische Information über, eine Information über die Zusammenhänge zwischen den Orten. Da ist also alles Mögliche weg abstrahiert. Man hat nur noch Verbindungsinformationen und damit sind wir auch schon in dem mathematischen Gebiet der Grafentheorie, dass sich eben mit solchen Informationen, abstrahierten Informationen über Verbindungen beschäftigt. Und solche Grafen, um die es in der Grafentheorie geht, die bestehen nur aus sogenannten Ecken und Kanten. Und die Ecken, die sind dabei einfach irgendwelche Punkte, wie zum Beispiel die

4:04 U-Bahn-Stationen. Und die Kanten sind Verbindungen zwischen zwei Punkten. Und das könnte zum Beispiel so eine Bahnstrecke sein, die von der einen Station direkt zu der anderen Station führt. Und so eine London-Tube-Map ist jetzt ein sogenannter Graf mit den Ecken, den U-Bahn-Stationen und den Kanten, den direkten Verbindungen. Und so eine Linie, so eine Route, die ein echter Zug dann abfährt entlang dieser Karte, würde man dann zum Beispiel ein Weg nennen in diesem Grafen. Ein Weg ist eine Aneinanderreihung von Kanten, so dass zwei aufeinanderfolgende Kanten sich immer an einer Station treffen, weil der Zug natürlich diese Kanten in der passenden Reihenfolge nacheinander abfahren muss, so dass er von einer Station immer zur nächsten fährt. Und

4:57 das ist ein total flexibles Konzept. Damit kann man alles Mögliche darstellen, was irgendwie mit Paarbeziehungen zu tun hat. So wie eben hier, dass zwischen einem Paar von Stationen eine U-Bahn verkehrt. Dort also so eine Paarbeziehung besteht. Und dieses ganze Weglassen von Entfernungsinformationen oder sonstigem Beiwerk, um was es sich handelt bei den Ecken, um was es sich bei den Kanten handelt, wie lang die Kanten sind, welche Farbe die Kanten haben, das ist alles Zusatzinformation, die man jetzt noch hinzufügen kann, aber in dem mathematischen Gebiet der Grafentheorie erstmal keine Rolle spielt. Also die einfachste Variante, es gibt nur diese Ecken und Kanten und das ist die Datenstruktur, mit

5:40 der sich dieses Gebiet beschäftigt. Und das ist so flexibel, dass es natürlich überall auftaucht. Zum Beispiel könnte man aus Landkarten, könnte man Grafen machen. Da macht man aus jedem Land, das man auf seine Landkarte haben möchte, eine Ecke. Also etwas, das verbunden werden soll. Und wenn zwei Länder benachbart sind, dann male ich eine Kante zwischen den Ecken, die zu den beiden Ländern gehören. Und da gibt es das berühmte Vierfarb-Theorem und das Vierfarb-Theorem, das sagt eben aus, wenn man so eine Landkarte hat, dann genügen immer vier Farben, um alle Länder so einzufärben, dass nie zwei benachbarte Länder die gleiche Farbe haben. Und das ist im Prinzip ein Problem aus der Grafentheorie, das nämlich sagt, dass wenn ich so einen Grafen habe, der zu

6:25 einer Landkarte gehört, einen sogenannten planaren Grafen, dann kann ich die Ecken mit vier verschiedenen Farben einfärben, so dass nie zwei benachbarte Ecken, nie zwei Ecken, zwischen denen eine Kante verläuft, die gleiche Farbe haben. Oder ich könnte als einen Grafen modellieren, die Menschen, die sich auf einer Party befinden und mit den Kanten die, die sich mal die Hand gegeben haben. Oder das Straßennetz oder das Internet, also die Kabel zwischen irgendwelchen Computern.

6:56 Ich könnte in einem Spiel, ein Labyrinth damit modellieren. Zum Beispiel jedes Mal, wenn ich eine Entscheidung treffen muss, ob ich links rum oder rechts rum oder geradeaus gehe, mache ich mir so eine Ecke in meinem Grafen und dann sind die Wege entlang der Korridore im Labyrinth die Kanten in meinem Grafen.

7:14 Man kann diesen Begriff jetzt auch noch erweitern, indem man zum Beispiel noch den Kantenrichtungen gibt oder auch vielleicht da noch Zahlen dran macht, aber das wollen wir erst mal nicht machen. Also wir haben nur dieses abstrakte Konzept. Es gibt keinerlei Axiome. Das ist auch so ein bisschen seltsames mathematisches Gebiet, wenn man schon mal so ein bisschen in abstrakte Mathematik reingeschnuppert hat. Da kennt man ja vielleicht so Begriffe wie eine Gruppe oder so, für die man immer irgendwelche Axiome hat. Da müssen immer irgendwelche Rechenregeln gelten oder sowas. Aber für Grafen hat man überhaupt keine Axiome.

7:45 Man hat einfach nur diese Definition. Es ist einfach eine Menge von Ecken und diese Kanten dazwischen. Und die Grafentheorie, die begann mit Euler im 18. Jahrhundert in Königsberg, was heute Kaliningrad heißt. Und dieses Kaliningrad, das hatte damals sieben Brücken in dem Stadtzentrum. Da gabelt sich nämlich ein Fluss und genau in der Gabelung liegt noch eine Insel. Also gibt es da vier Landmassen. Eine Nordlandmasse, eine Südlandmasse, eine Ostlandmasse und eben noch diese Insel. Und die sieben Brücken verlaufen irgendwie so zum Beispiel zwei gehen vom Nordufer zur Insel und eine geht vom Nordufer zum Ostufer und so weiter. Und das ergibt dann irgendwie so eine Konfiguration. Und an jedem der

8:34 großen Landstücken kommen genau drei Brücken an und an der Insel kommen fünf Brücken an. Und ein Bild davon tue ich euch auch in die Kapitelmarke hier oder ihr könnt es in den Shownotes finden. Und die Frage war jetzt, also da gab es dann so eine Art Wettbewerb, so eine Art Pubcrawl, ob man einen Spaziergang machen kann.

8:52 Der geht los beim Pub. Also erstmal betrinkt man sich ordentlich und dann prallt man rum, dass man über jede der Brücken genau einmal gehen kann und dann wieder zum Pub zurückkommen kann. Also das war diese Aufgabe. Der Königsberger Spaziergang bestand darin, irgendwo loszumarschieren, jede Brücke genau einmal zu passieren und wieder am Anfang zurückzukommen. Und Leonhard Euler bewies 1736 ungefähr oder genau wie belastbar die Zahl ist, weiß ich jetzt nicht, aber jedenfalls im ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts, dass so ein Weg nicht möglich ist. Und das sieht man so an als den Anfang der Grafentheorie, weil er da, um dieses Problem zu lösen, erkannte, dass es auf allerlei Dinge nicht ankommt in diesem Problem. Es kommt nicht darauf an, wo Königsberg liegt.

9:49 Es kommt auch nicht darauf an, wie Königsberg heißt. Es kommt auch nicht darauf an, wie groß die Insel ist. Es kommt nicht darauf an, wie die Brücken gebaut sind. Es kommt nur auf die Anordnung der Brücken und der Landmassen zueinander an. Es kommt auch nicht darauf an, ob diese Karte jetzt vielleicht gedreht ist. Es geht nur um die Information, die in dem Grafen steckt, der als Ecken die Landmassen hat und als Kanten eben die Brücken. Und er benutzt eine ganz einfache Methode. Wenn ich jetzt meinen Spaziergang mir mal denke, angenommen, ich hätte so einen Spaziergang gemacht, dann komme ich ja unterwegs auf allerlei Landmassen vorbei. Ich spaziere, spaziere, spaziere und bei jeder Landmasse, wo ich unterwegs vorbeikomme, komme ich durch irgendeine

10:38 Brücke auf diese Landmasse und dann verlasse ich die Landmasse wieder über eine weitere Brücke, weil die erste Brücke kann ich ja nicht noch mal nehmen, denn ich benutze ja jede Brücke nur einmal. Eventuell komme ich im Verlauf meines Spaziergangs bei der gleichen Landmasse noch mal vorbei, aber auch in diesem Fall gilt, dass ich sie über eine Brücke betrete und über eine andere Brücke wieder verlasse, es sei denn, es ist die letzte Landmasse in meinem Spaziergang, zu der ich ankommen will. Und daraus kann ich jetzt direkt ableiten, dass alle Landmassen, die nicht die erste oder die letzte bei meinem Spaziergang sind, eine gerade Anzahl von Brücken besitzen müssen. Und sofort bekomme ich eine sogenannte notwendige Bedingung. Wenn ich meinen Königsberger Spaziergang

11:25 mache, muss jede Landmasse, die ich in der Mitte, die nicht am Anfang oder am Ende meines Weges liegt, muss genau eine gerade Anzahl von Brücken haben. Und damit ist die ganze Sache in dem wirklichen Königsberg von 1730 schon beendet. Denn dort haben wir drei Landstücken mit genau drei Brücken und eins mit fünf. Dort gibt es also überhaupt keine Landmasse, die eine gerade Anzahl an Brücken hat. Insofern sieht man sofort, dass dieser Weg dort nicht möglich ist. Und das wurde sogar noch ausgebaut. Also Euler hat die komplette Lösung vorgeschlagen, die zwei Probleme, die beiden verwandten Probleme, löst. Nämlich diesen Spaziergang so zu machen, dass man an der gleichen Bar wieder ankommt. Das nennt man einen Eulerschen Kreis. Oder einfach nur

12:15 irgendwie durch die Stadt spaziert, so dass man jede Brücke genau einmal benutzt. Und beide sind unmöglich. Und diese Einsicht Eulers begründete die Grafentheorie. Und das ist auch wissenschaftsgeschichtlich bedeutend, weil die Mathematik sich an dieser Stelle etwas wegentwickelt von einem Postulat von Aristoteles, der nämlich mal postuliert hat, dass die Mathematik die Wissenschaft des Zählens ist. Die Wissenschaft der Anzahl und allem, was aus Zahlen entsteht. Und hier haben wir jetzt genau das Weglassen von Zahlen.

12:52 Eben nur die, wie wir jetzt sagen, topologische Information spielt eine Rolle. Die Länge der Brücken und so weiter spielt keine Rolle mehr. Es spielt nur die genaue Anordnung der Brücken eine Rolle. Und das war eben eine große Einsicht, die Euler hier gelang und ist deswegen wissenschaftsgeschichtlich bedeutend. Und damit der Anfang vielleicht auch des Gebiets der Topologie, dass das noch auf schwierigere geometrische Anordnungen erweitert, dieses Prinzip, dass man metrische Information, Abstandsinformation, genaue Lageinformation aus der Geometrie entfernt und nur über Information redet, die unter kleinen Verformungen gleich bleibt. So kann man sich hier bei den Brücken vorstellen, wenn die Landmassen sich etwas verformen würden, wäre das Problem,

13:43 solange die Brücken intakt bleiben, wäre das Problem immer das gleiche. Und damit entsteht also Grafentheorie als eine mathematische Theorie, die nur diese eine Definition zugrunde liegen hat. Man hat die Ecken und Kanten dazwischen und man fragt sich jetzt vielleicht, was man über so eine einfache Struktur überhaupt beweisen kann. Es gibt ja gar keine Axiome, womit soll man also arbeiten? Und da können wir an der Stelle mal David Hilbert zitieren, der 1900 auf dem Internationalen Kongress der Mathematiker, als er auch die Hilbert- Probleme besprach, in seiner Vorrede sagte, dass es, solange es Probleme gibt in einem mathematischen Gebiet, dieses mathematische Gebiet am Leben ist. Es lebt also von den Problemen und von den Mathematikerinnen, die sich mit diesen

14:32 Problemen beschäftigen und sie lösen und daraus neue Probleme erschaffen. Also schauen wir uns mal vielleicht ein paar klassische Probleme der Grafentheorie an. Das eine haben wir jetzt schon nach Euler benannt. Das ist eigentlich nur die Abstraktion von Eulers Königsberger Spaziergangsproblem auf beliebige Grafen. Also ein Weg in einem Grafen ist vielleicht die erste Definition der Grafentheorie, ist so eine Ansammlung von Kanten, so dass die erste Kante und die zweite Kante genau eine Ecke gemeinsam haben und die zweite und die dritte Kante haben eine Ecke gemeinsam, so dass man die Kanten in der Reihenfolge ablaufen kann und dabei immer an einer Ecke von einer Kante auf die nächste Kante wechselt. Also eine ganz natürliche Definition, das was man

15:17 sowieso einen Weg nennen würde und was auch in Königsberg auf dem Königsberggrafen ein Weg ist. Und ein Eulerweg ist jetzt ein Weg in einem Grafen, der jede Kante genau einmal benutzt. Und ein Kreis in einem Grafen ist ein Weg, der wieder zum Anfang zurückkommt. Und ein Eulerkreis ist dementsprechend natürlich ein Eulerweg, der auch ein Kreis ist, also ein Spaziergang in Königsberg oder auf irgendeinem Grafen, der jede Kante genau einmal benutzt und wieder zum Anfangspunkt zurückkommt. Und Euler hat dann halt schon im 18. Jahrhundert alle Fragen dazu beantwortet. Und er nutzte dazu, nächste Definition, den Grad einer Ecke. Der Grad einer Ecke ist die Anzahl von Kanten, die dort ankommen beziehungsweise abgehen. Und wir hatten ja schon diskutiert, dass es darauf

16:13 ankommt, ob gerade von Ecken, ungerade oder gerade sind. Also hier haben wir jetzt den ungerade und gerade gerade. Und damit es einen Eulerschen Kreis geben kann, muss zum Beispiel jeder Grad in dem Grafen gerade sein, weil man an jedem Landmasse, an jeder Ecke, an der man ankommt, auch wieder weggehen muss. Und deswegen muss sie eine gerade Anzahl von Nachbarn haben, wie man sagt. Die Nachbarn sind die anderen Ecken, die über eine Kante mit einer Ecke verbunden sind. Und damit wird dieses Problem als gelöst angesehen. Und das ist auch, denke ich, einsichtig. Also warum ist Eulers Problem mit dieser komischen Charakterisierung, mit der Anzahl von Kanten, die eingehen und ausgehen, gelöst? Naja, die eine Sache zu

17:05 schauen, ob jede Ecke eine gerade Anzahl von Nachbar-Ecken hat oder eine gerade Anzahl von Kanten, die bei ihr ankommen hat, ist etwas ganz Einfaches. Das kann man durch einfaches Abzählen lösen. Während das Aufsuchen dieser Eulerschen Kreise eben ein kombinatorisch schwieriges Problem ist, wo man sich erst mal hinsetzen würde und herumprobieren. Und so hat man ein schwieriges Problem, also eine Suche auf irgendwelchen Wegen in dem Grafen durch ein einfaches Problem, ein einfaches Abzählproblem ersetzt. Und in der Mathematik hat man oft dieses Ersetzen von einem schwierigen Problem durch ein anderes schwieriges Problem. Das kann auch schon eine mathematische Einsicht sein. Aber hier ist noch eine viel bessere Einsicht, dass man ein schwieriges

17:47 Problem durch ein einfaches Problem ersetzt. Und das würde man dann eine Lösung nennen. Also ein schwieriges Problem durch ein schwieriges Problem zu ersetzen, das nennt man eine Charakterisierung. Und ein schwieriges Problem durch ein einfaches Problem zu ersetzen, das nennt man eine Lösung. Also dieses Problem mit den Eulerschen Kreisen ist gelöst. Aber man kann das Problem ganz wenig abändern und schon hat man wieder ein schwieriges Problem.

18:10 Man könnte zum Beispiel Hamilton-Kreise suchen und da ändert man die Fragestellung. Man will jede Ecke genau einmal besuchen. Also man will auf dem Grafen rumlaufen, man sucht wieder einen Weg oder einen Kreis, der jede Ecke genau einmal besucht. In Königsberg zum Beispiel ist es ganz einfach. Da müsste man nur jede Landmasse einmal besuchen oder eine Bar auf jeder der Landmassen. Und das ist einfach. Man läuft einfach von Norden auf die Insel nach Süden und dann nach Osten und hat jede Landmasse besucht. Also hierbei benutzt man jetzt nicht mehr alle Brücken, sondern man will nur jede Landmasse einmal besuchen. Wo ich das jetzt so sage, fällt mir noch etwas auf, das ich nicht erwähnt habe. Natürlich muss es überhaupt Wege geben für

19:07 Eulersche oder Hamiltonsche Kreise. Wenn man jetzt einen Grafen hat, wo es einen Bereich gibt, der überhaupt nicht mit einem anderen Bereich des Grafen verbunden ist, so wie stelle man sich vor, man legt einfach zweimal so eine U-Bahn-Karte von London nebeneinander, dann gibt es keine Bahn, die von der einen Kopie von London zu der anderen Kopie von London fährt, weil ich einfach nur zwei Karten nebeneinander gelegen habe und die nicht verbunden sind.

19:36 Das nennt man dann einen nicht verbundenen Grafen. Und alles, was ich heute erzähle, handelt über verbundene Grafen, in denen man also von jeder Ecke zu jeder anderen Ecke irgendwie entlang der Kanten überhaupt kommen kann. Okay, aber das nur für die Leute, die sich vielleicht etwas darüber gewundert haben. Also diese Hamilton-Kreise wollen also jede Ecke genau einmal besuchen. Zum Beispiel könnte man das auf dem Ikosaeder spielen.

20:06 Man könnte also so einen platonischen Körper nehmen, sagen wir mal so ein Ikosaeder, und dann fängt man an irgendeiner Ecke an und man will jetzt jede Ecke des Ikosaeders besuchen und bewegt sich nur entlang der Kanten und das geht. Ja, das kann man schaffen. Und das wurde sogar mal als Rätselspiel verkauft. Ich schaue mal, ob ich da ein gemeinfreies Bild finde oder euch einen Link in die Shownotes-Tour. Das konnte man so kaufen als Spiel, bei dem man so seinen Weg markieren sollte auf dem Ikosaeder. Und das kann man natürlich auch für andere platonische Körper fragen. Und man kann sich überlegen, dass das auf jedem platonischen Körper geht. Können wir ja mal anfangen mit so einem Tetraeder uns das vorzustellen. Naja, ich löse das jetzt nicht. Ich will euch den

20:57 Spaß nicht verderben, das selbst auszuprobieren. Und der Ikosaeder ist dann der schwerste, der Endgegner sozusagen. Aber fang mal mit dem Tetraeder an. Da ist es ganz einfach. Also man nimmt einen Tetraeder und will entlang jeder Ecke einmal besuchen, indem man entlang der Kanten läuft. Daher kommen übrigens auch diese Begriffe Ecken und Kanten. Denn eine weitere Quelle von interessanten Graphen sind die Graphen von Polyedern. Zum Beispiel solchen platonischen Körpern oder anderen Polyedern, die Ecken haben und Kanten, die manche der Ecken verbinden. Und daher auch diese Terminologie. Und als ich mich nach diesem Ikosaeder-Spiel mal informiert habe, da habe ich ein interessantes Journal gefunden. Da gibt es das Journal

21:48 of Game and Puzzle Design. Das ist so ein kleines Journal. Das hat leider nur sechs Ausgaben jemals produziert. So in den 2015, 16, 17er Jahren irgendwie. Und das PDF von allen Ausgaben zusammen sollte 25 Dollar kosten. Das habe ich mir jetzt noch nicht gekauft. Aber vielleicht wünsche ich mir das mal zu meinem Geburtstag oder so. Ganz interessantes Journal. Das verlinke ich euch mal.

22:12 Naja, jedenfalls ist es bei diesen Hamilton-Kreisen ganz anders als bei den Euler-Kreisen. Denn ein Mathematiker oder Computerwissenschaftler namens Karp hat in den 70er Jahren des 20. Jahrhunderts gezeigt, dass es NP schwer ist, zu bestimmen, ob ein gegebener Graph einen solchen Hamilton-Kreis hat. Das bedeutet, der Algorithmus, der einfach alle Kreise durchgeht und schaut, bei jedem erfüllt er die Bedingung, dass er jede Ecke einmal besucht oder tut er es nicht, der ist zwar ziemlich ineffizient, aber das ist schon ein bester Algorithmus.

22:59 Also es gibt kein signifikant für große Graphen besseren Algorithmus, als einfach alle Kreise auszuprobieren. Insbesondere kann es keine einfach zu berechnende Formel geben. Denn wenn es so eine Formel geben würde, naja, zählt hier das ab, zählt das ab, zählt zusammen und guckt, ob es gerade oder ungerade ist, dann wäre das ja ein viel einfacher Algorithmus. Und das ist also schlechte Nachrichten für diese Hamilton-Kreise. Also haben wir jetzt in der Graphen-Theorie ein begründendes Problem, was ganz einfach ist. Euler hat die Graphen-Theorie erfunden und gleich das begründende Problem gelöst und damit die Graphen-Theorie begründet. Und wenn wir das Problem leicht abändern, also wie so dual Ecken durch Kanten ersetzen und Kanten durch Ecken, dann kommen wir auf

23:46 das Problem der Hamilton-Kreise, dass NP schwer ist und dass man als Spiel vermarkten kann. Ja, und so ist es. Und das ist die klassische Graphen-Theorie. Und es gibt viele angewandte Probleme aus der Graphen-Theorie. Natürlich will man in konkreten Graphen eine beste Route finden, einen kürzesten Weg finden oder vielleicht einen Graphen malen. Und das ist eben das, womit sich die Graphen-Theorie heutzutage beschäftigt. Und jetzt habe ich hier schon wieder ein ganz schönes Weilchen geredet, deswegen höre ich jetzt mal lieber auf. Aber ich plane noch eine weitere Folge zur Graphen-Theorie, in der ich mal versuche, so ein bisschen einen Einblick zu geben in modernere Aspekte der Graphen-Theorie.

24:35 Also was kann man denn heutzutage machen? Wohin hat sich das entwickelt in den Zeiten seit Euler? Aber dazu muss ich noch ein bisschen arbeiten. Das kommt dann später in diesem Kanal. Also bis dahin wünsche ich euch eine gute Zeit. Bis bald. Macht's gut!