EIG013 Intransitiv würfeln

0:00 Ja, hallo zusammen, hier ist wieder der Eigenraum. Mein Name ist Thomas, ich begrüße euch. Ihr hört richtig, ihr habt richtig eingeschaltet, um ein bisschen Mathe zu hören. Und meine heutige kleine Erzählung hier beginnt mit einer Story über Bill Gates, wie sie von Warren Buffett erzählt wird. Das sind so Typen aus den 90ern, also als ich klein war.

0:23 Bill Gates war so ein bisschen der Erzschurke für uns Linux-Nerds, also der Typ, der mit Windows eine furchtbare Welt von Computerprogrammen durchgesetzt hat gegen die besseren Interessen der Nutzerinnen und Nutzer. Aber heutzutage wird er ja eher so als smarter Entrepreneur und großer Spender für wohltige Zwecke gesehen.

0:47 Das ist vielleicht ganz interessant, was aus so Tech-Supermilliardären irgendwie wird. Ich weiß nicht, ob Zuckerberg und Musk auf dem gleichen Weg sind. Aber darum geht es ja heute gar nicht. Also eigentlich geht es um eine Story, die Bill Gates irgendwo erzählt hat. Ich glaube, in einem Interview oder einer Biografie oder so.

1:03 Und die geht so, dass Warren Buffett eines Tages zu ihm kam. Also Warren Buffett ist so ein Star-Investor, auch so ein unendlich reicher Typ, der sein Geld an der Börse gemacht hat durch cleveres Investieren. Und die beiden, also ich glaube, die stehen jetzt einfach für smarte Typen. Die treffen sich irgendwie und Warren Buffett schlägt folgendes Spiel vor.

1:23 Er hat vier Würfel dabei. Und das sind so sechsseitige Würfel, wie man die so kennt. Aber die Augenzahlen da drauf, die sind eben nicht 1, 2, 3, 4, 5, 6, so wie man das beim normalen Würfel kennt, sondern die sind ein bisschen anders. Einer der Würfel hat nur 3 drauf. Der andere Würfel hat zwei leere Seiten, also 0 und 4 Vieren.

1:43 Ein Würfel hat 3 Einsen und 3 Fünfen. Und ein Würfel hat 4 Zweien und 2 Sechsen. Und jetzt schlägt er das Spiel vor. Jeder sucht sich einen Würfel aus. Und dann nehmen sie jeder ihren Würfel und würfeln da gegeneinander eine ganze Menge Mal, also dass das nicht so von dem einen Würfelwurf abhängt. Das soll ja nicht so ein Glücksspiel sein.

2:04 Dann würfeln sie eine Weide lang und schreiben sich auf, wer wie oft eine höhere Zahl würfelt als der andere. Und wer öfter eine höhere Zahl gewürfelt hat, nach einer Weile, der gewinnt dann. Und Warren Buffett schlägt vor, dass Bill Gates sich zuerst einen Würfel aussuchen darf. Und Bill Gates schaut sich diese Würfel an, überlegt ein bisschen und sagt dann, nee, Warren Buffett soll zuerst einen Würfel aussuchen.

2:24 Und das ist ja erstmal ein bisschen kurios. Man würde ja denken, dass es besser ist, sich zuerst einen von den Würfeln auszusuchen, oder? Also die Sache, die Bill Gates durchschaut hat, ist, dass es in dem Spiel mit diesen 4 Würfeln schlechter ist, sich zuerst einen Würfel auszusuchen, weil Warren Buffett, der dann als zweites aussucht, sich einen Würfel aussuchen kann, nachdem er gesehen hat, welchen Bill Gates genommen hat, der den von Bill Gates schlagen wird.

2:55 Und das liegt daran, dass diese Würfel sich so im Kreis schlagen können. Also wir hatten einen Würfel, der hatte alle Seiten dreien. Wenn der ausgewählt werden würde, dann würde der andere, Warren Buffett in dem Fall, den Würfel wählen, der zwei Nullen hat und vier Vieren. Wenn die jetzt eine ganze Weile lang würfeln, dann kann man sich vielleicht vorstellen, dass bei sechs Dreien der Würfel mit den zwei Nullen und vier Vieren häufiger gewinnt, weil er eben vier Seiten größer hat als der andere und zwei Seiten kleiner.

3:33 Da wird er schon häufiger gewinnen. Und das kann man sich einfach vergegenwärtigen. Natürlich gibt es irgendwie 36 mögliche Paare, aber wenn man diese Würfel-Würfel-Seiten so anordnet, sieht man es eigentlich direkt. Dann sagt der Bill Gates vielleicht, naja, dann nehme ich vielleicht diesen mit den zwei Nullen und den vier Vieren.

3:52 Aber Warren Buffett hatte noch einen. Da waren drei Einsen und drei Fünfen drauf. Und die drei Einsen und drei Fünfen schlagen den mit zwei Nullen und vier Vieren, denn die zwei Einsen sind besser als die zwei Nullen. Okay, bei vier gegen eins würde vielleicht der ursprüngliche Würfel gewinnen, aber dann die drei Fünfen sind auch noch mal besser als drei von den Vieren.

4:14 So gewinnt der wieder. Dann könnte der Bill Gates vielleicht sagen, dann nehme ich den, der mit drei Einsen und drei Fünfen. Aber dagegen kann Warren Buffett dann einnehmen, der hat vier Zweien und zwei Sechsen, was auch besser ist. Bisher ist noch nichts Verblüffendes passiert, aber jetzt ist es eben so, dass dieser mit den vier Zweien und zwei Sechsen, der letzte, dass der wieder schlechter ist als der erste, der nur Dreien hatte.

4:41 Die zwei Sechsen, die würden vielleicht gegen die Dreien gewinnen, aber da da vier Zweien stehen und der andere nur Dreien hatte, kann er sich, der erste, wieder gegen den letzten durchsetzen. Also hat man so eine Schlange, die sich so im Kreis dreht von Würfel A ist besser als Würfel B, Würfel B ist besser als Würfel C, Würfel C ist besser als Würfel D und Würfel D ist wieder besser als Würfel A.

5:07 Und das ist irgendwie nicht intuitiv. Aber warum ist es eigentlich nicht intuitiv? Das liegt daran, dass wir eine mathematische Eigenschaft, die sich Transitivität nennt, gewohnt sind. Zum Beispiel von allen möglichen Größen oder Stärken vergleichen, sind wir es schon gewohnt, wenn irgendwie A größer ist als B, irgendeine numerische Größe, und Größe B ist größer als Größe C, dann ist auf jeden Fall Größe A auch größer als Größe C.

5:38 Das nennt man die Transitivität und zum Beispiel bei so einer größeren Relation, einer sogenannten Ordnungsrelation, ist das eine der Voraussetzungen. Allerdings kennen wir natürlich auch viele intransitive Eigenschaften. Zum Beispiel Dein Schere Papier spielen basiert auf dem Prinzip der Intransitivität.

5:56 Jeder schlägt den Nächsten und jeder von den Dreien wird von einem geschlagen und schlägt einen anderen. Und dadurch hat man eben diese Komponente des Spiels, die man in der Technologie oder Zufall basiert. Genauso ähnlich ist es bei der Ähnlichkeit von Socken. Also wenn man drei Socken hat und die erste Socke ist irgendwie ähnlich zu der zweiten Socke und die zweite Socke ist irgendwie ähnlich zu der dritten Socke, heißt das nicht, dass die erste Socke ähnlich zur dritten Socke ist.

6:28 Also Transitivität ist uns vertraut von Begriffen der Stärke und des Gewinnens oder der Größe. Man denkt irgendwie, dass ein Würfel, der gegen einen anderen Würfel gewinnt, dass er irgendwie besser ist oder stärker. Aber so einfach ist es eben nicht. Diese vier Würfel wurden übrigens von Bradley Ephron, einem berühmten Statistiker, entdeckt.

6:48 Also es hat schon irgendwas mit Wahrscheinlichkeitstheorie zu tun und was man so hört, ist Warren Buffett einfach auch ein großer Fan von solchen intransitiven Würfeln, wie man das nun nennt. Man kann es übrigens auch mit drei Würfeln bauen. Da tue ich euch mal so ein schönes Bild rein, was ihr jetzt, wenn ihr einen guten Podcastplayer habt, auf eurem Podcastplayer angezeigt bekommt. Da seht ihr die drei Würfel und dann könnt ihr das mal ausknobeln, ob das auch für diese drei Würfel so ist, dass die intransitiv sind.

7:20 Und wie analysiert man dieses Problem? Naja, wenn man so drei Würfel, sagen wir mal drei, hat, dann schaut man sich eben Paare von diesen Würfeln an und man sagt, ein Würfel schlägt den nächsten Würfel, wenn von diesen 36 möglichen Kombinationen von Paaren, also beide Würfeln mit ihrem Würfel und dann bekomme ich eine von 36 Möglichkeiten, von den sechs Seiten des einen Würfels eine, von den sechs Seiten des anderen Würfels eine und ich würfle einfach, das heißt, die Würfel sind auch in dem Sinne fair, dass die jede Seite mit der gleichen Wahrscheinlichkeit hervorbringen. Da habe ich 36 Kombinationen und bei denen schaue ich einfach, wer gewinnt wie oft und ein Würfel schlägt einen anderen, wenn mehr als 18

8:04 für den einen Würfel ausgehen und bei genau 18 würde ich vielleicht unentschieden sagen. Und das ist eigentlich ein interessantes mathematisches Phänomen, also mich zum Beispiel als computerinteressierten Mathematiker würde das sofort reizen, das zu implementieren und damit irgendwie rumzuexperimentieren, was passiert mit vier Würfeln, was passiert mit fünf Würfeln und was passiert, wenn die Würfel solche komischen anderen Seitenzahlen haben, also wenn man sich jetzt mal Würfel denken würde mit sieben Seiten, acht Seiten, neun Seiten oder 219 Seiten oder was passiert, wenn man verschiedene Zahlen auf die Würfelseiten schreibt. Und genau solche Experimente, die wurden auch gemacht.

8:42 Also wenn man zum Beispiel einfach mal drei Würfel nimmt und man nimmt jetzt an, dass die Würfel n Seiten haben, statt 6, ein beliebiges n Und vielleicht will man auch noch annehmen, dass die Würfel irgendwie immer das gleiche Gewicht haben, also dass nicht ein Würfel sich dadurch durchsetzen kann, dass der einfach immer Sechsen hat und der andere immer Einsen. Wie kann man das verhindern? Man könnte ja zum Beispiel verlangen, dass wenn ich die Zahlen aufsummiere, die auf den Seiten sind, dass dann immer die gleiche Summe rauskommt.

9:22 Und wenn ich mir eine Summe aussuchen muss, dann nehme ich halt eben die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. Dann kann ich zwar dort andere Zahlen draufschreiben oder auch mal eine Zahl wiederholen, aber die Summe der Würfelseiten soll die gleiche sein, wie die Summe, wenn die Zahlen von 1 bis n auf den Würfelseiten stehen würden.

9:42 Und das ist eben genau n mal n plus 1 halber, wie wir glaube ich auch in einer vorherigen Folge schon mal ausgerechnet oder behauptet haben. Die Würfel von Bill Gates und Warren Buffett haben die Eigenschaft übrigens nicht. Also jetzt machen wir das Ganze mal ein bisschen fairer. Also wir machen gerade ein Computerexperiment. Wir betrachten drei solche normalen Würfel, die aber n Seiten haben und das Gesamtgewicht, also die Summe der Augenzahlen auf den Seiten ist überall gleich.

10:10 Und diese Experimente, die Leute damit gemacht haben mit dem Computer, zum Beispiel zufällige Würfel zu erzeugen und dann zu schauen, schlägt Würfel A Würfel B, schlägt Würfel B Würfel C, schlägt Würfel C wieder Würfel A und so weiter, haben ergeben, dass wenn Würfel A Würfel B schlägt und Würfel B Würfel C schlägt, dass dann man keine Aussage treffen kann, ob Würfel A Würfel C schlägt oder Würfel C Würfel A schlägt.

10:44 Beide erscheinen gleich wahrscheinlich, gleich häufig. Also unter der Annahme, dass man diese drei Würfel mit n Seiten so zufällig erzeugt, dass die Seitensumme immer gleich ist, kann man eigentlich überhaupt keine Aussage machen, ob dann, wenn A B schlägt, B C schlägt, ob dann A C schlägt oder C A schlägt.

11:08 Also ob so eine Transitivität oder eine Intransitivität vorliegt. Und das ist auch eigentlich eine kuriose Beobachtung, die man hier datengetrieben gemacht hat. Und das ging dann so ein bisschen Weißchen vor sich hin, bis dann irgendwann Timothy Gowers darauf aufmerksam wurde. Das ist ein sehr bekannter Kombinatoriker und Wahrscheinlichkeitstheoretiker und überhaupt vielseitig interessierter Mathematiker aus England, der auch eine Fields-Medaille gewonnen hat.

11:36 Und der hat eine Serie von Projekten, die nennen sich Polymath. Und in diesen Projekten benutzt er seinen Blog, um gewisse mathematische, kombinatorische Probleme populär zu machen und Leute einzuladen, einfach mal in einer Art Internet-Brainstorming-Session einfach alles auf den Tisch zu legen, was ihnen dazu zu so einem Problem einfach so einfällt.

11:58 Und die Hoffnung ist, dass durch dieses Zusammenschmeißen der Ideen neue kreative Lösungen für alte mathematische Probleme entstehen. Und dieses Projekt mit den intransitiven Würfeln, das ist das Polymath 13-Projekt, was er in 2017 vorgestellt hat. Und in einer Reihe von Blog-Posts und Kommentaren, und das ist wirklich ein WordPress-Blog, also ich weiß nicht, wer von euch schon mal Kommentare in einen WordPress-Blog geschrieben hat.

12:26 Es ist nicht das tollste User-Interface, aber im Prinzip durch WordPress-Kommentare der Leserschaft zu seinen Blog-Artikeln ist eine Lösung für diese Vermutung, die wir gerade beschrieben haben, entstanden. Und das wurde dann so aufgearbeitet und veröffentlicht. Das ist jetzt auf dem Archive erschienen, da gibt es ein Paper, und der Autor von dem Paper, oder die Autorin, ist DHJ Polymath.

12:54 DHJ Polymath ist jetzt so eine Kunstfigur, die Artikel veröffentlicht, die aus solchen Polymath-Projekten entstanden sind. Und DHJ Polymath hat schon ein Google Scholar-Profil und hat auch schon eine ansehnliche Anzahl von 431 Zitaten gesammelt und unter anderem schon ein Annals of Mathematics Paper auch, also mehr als euer Podcast- Host hier, der null Paper in Annals of Mathematics veröffentlicht hat.

13:24 Aber dafür habe ich wenigstens mein Profilbild aktualisiert auf Google Scholar und DHJ Polymath hatte noch nicht mal seine E-Mail-Adresse hinzugefügt. Naja, wie dem auch sei. Also dieses Ergebnis ist, dass wirklich es gilt, das was man experimentell beobachtet hat, dass wenn man drei solche Würfel zufällig zieht, die wie gesagt dieses Gesamtgewicht konstant haben, dass dann die Transitivität in der Hälfte der Fälle gilt und in der anderen Hälfte der Fälle nicht gilt. Ein kurioses Ergebnis, was kollaborativ im Internet erschienen ist. Und interessanterweise ist das so eine, diese Symmetrie spielt eine wichtige Rolle.

14:02 Also dass man dort drei Würfel hat ist wichtig. Denn schon vorher, also dieses Polymath Paper das ist 2022 ich glaube Ende des Jahres November, Dezember erschienen und für vier Würfel wusste man schon vorher, dass es nicht korrekt ist. Das heißt für vier Würfel das Ergebnis ist immer noch etwas kurios, aber angenommen man erzeugt vier Würfel mit N Seiten, die wieder diese gewichtete Seitensumme haben und bedingt auf das Ereignis A ist besser als B, B ist besser als C, C schlägt D, dann gibt es tatsächlich eine 52% Chance dass A auch D schlägt.

14:46 Also eine etwas erhöhte nicht mehr dieses Fifty-Fifty-Verhalten dass man nichts aussagen kann, sondern eine etwas erhöhte Chance dass dann A auch wirklich besser ist als D. Also wenn A B schlägt B schlägt C, C schlägt D gibt es eine 52% Chance dass A auch D schlägt. Und dieser Effekt scheint extremer zu werden, je länger man diese Kette macht. Also wenn man wirklich eine lange Kette von Würfeln hat die führt dazu dass es da dann doch Abhängigkeiten gibt. Und der Fall von drei Würfeln ist eben speziell.

15:20 Eine andere Variation die man noch machen könnte ist, dass man die Seitensummen einfach beliebig sein lässt und es ist vermutet, aber nicht endgültig bewiesen, dass dann das natürliche Verhalten eintritt. Das heißt, ein Würfel der einen zweiten Würfel schlägt so dass der zweite Würfel einen dritten Würfel schlägt und der dritte Würfel schlägt einen vierten Würfel schlägt dann auch mit hoher Wahrscheinlichkeit und immer höher werdender Wahrscheinlichkeit der Erste den Letzten und das ist auch bei drei Würfeln so. Also das kuriose Phänomen tritt ein durch die Symmetrie.

15:52 Hier hat man also wieder so einen Effekt für genau drei Würfel eine Symmetrie entsteht ein kurioser Effekt eintritt, dass das Unerwartete das Normale ist, das was häufig auftritt und erst für größere Anzahlen von Würfeln sich die Situation wieder der Intuition angleicht. Naja und das Fazit ist, dass man hier vielleicht so ein Abbild von dem hat, was man auch aus dem Fußball kennt. Wenn Bayern Dortmund schlägt und Dortmund St. Pauli schlägt, heißt das noch lange nicht, dass Bayern auch St. Pauli schlägt.

16:26 Okay, ich hoffe ihr verzeiht mir diese kleine Fußballmetapher und schaltet auch beim nächsten Mal wieder ein, hier beim Eigenraum. Ich sag tschüss und bis dann.