EIG014 Definitionssache

0:00 Guten Morgen Thomas! Guten Morgen Tom! Sag mal, was ist eigentlich deine Lieblingsprimzahl? 17, wieso? Ach egal. Düdüdüdüdü düdüdü oder so ähnlich. So, willkommen im Eigenraum. Profi-Podcast-Hörerinnen werden sich vielleicht jetzt irgendwie denken, sie sind bei Logbuch-Netzpolitik gelandet oder irgendein weirden Abklatsch davon.

0:28 Sind sie aber nicht, ihr seid im Eigenraum und der Eigenraum reagiert heute auf Logbuch-Netzpolitik. Da trug sich nämlich kürzlich in Folge 451 etwas zu. Folge 451 ist krass, oder? Also wer jetzt Logbuch-Netzpolitik nicht kennt, das ist ein toller Podcast, kann ich euch empfehlen, ist natürlich verlinkt und findet ihr überall, wo es Podcasts gibt.

0:50 Und da trug sich jedenfalls neulich Folgendes zu. Logbuch-Netzpolitik Nummer 451 vom 23.1. 23 23 1 23, wie nennt man das? Wenn so ein Datum in die eine Richtung wie in die andere Richtung funktioniert und man ein bisschen cheatet, weil ja eigentlich noch ne 20 dazu gehört, aber man die jetzt weglässt, weil dann hat man nichts mehr, worüber man reden kann.

1:14 Mir fällt nur auf, Tim, weißt du, also 23 ist ne Primzahl, ne? Ja. 1 ist ne Primzahl. Und wenn man 23 plus 23 plus 1 rechnet, ist es 47, ist es auch ne Primzahl. Und die Quersumme von 47 ist 11, ist auch ne Primzahl. Wahnsinn. Ist 2 ja eigentlich auch ne Primzahl? 2 ist auch ne Primzahl, ja. Also die Quersumme von 11, 2 ist auch wieder ne Primzahl.

1:38 Das ist interessant. Die Frage ist, was bedeutet das alles? Ja, was bedeutet das alles? Da fühle ich mich natürlich aufgerufen, vielleicht mal was dazu zu sagen. Also ihr habt den Linus gerade gehört, der hat ja behauptet, 1 sei ne Primzahl. Und dafür ist er auch in den Kommentaren heftigst korrigiert worden, angegangen, fast schon, mit Videos und YouTube-Links zurechtgewiesen worden.

2:06 Das löste dann sogar so ne Welle von Remakes aus, also in den danach aufgenommenen Folgen taucht diese kleine Scherz immer wieder auf, dass 1 nur ne Primzahl ist oder eben nicht. Und 1 ist nach den gängigen Definitionen keine Primzahl. Da kann man zum Beispiel mal auf Wikipedia gucken, auf der Allwissenen Müllhalde. Ne Primzahl, laut der englischen Wikipedia, ist eine natürliche Zahl, die größer ist als 1 und sich nicht als Produkt von zwei kleineren natürlichen Zahlen schreiben lässt. Oder auf der deutschen Wikipedia, eine Primzahl von Lateinisch numerus primus, erste Zahl, ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teile hat.

2:46 Da habt ihr aufgepasst, genau zwei Teile. Also die Definition, die man so auf dem Schulhof oder auf der Straße hört, ist vielleicht ne Primzahl, ist ne Zahl, die nur durch 1 und sich selbst glatt teilbar ist. Und wenn man die Definition nimmt, dann kommt man ja auf 1 auch. Denn naja, so in der Mathe ist es ja immer so, dass man genau hinhören muss und dann wenn ne Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, ist es ne Primzahl und 1 ist durch 1 und sich selbst, also auch 1, glatt teilbar und durch sonst nix. Also könnte 1 nach der Definition ne Primzahl sein. Die beiden Wikipedia-Definitionen lassen das aber weg. In der ersten, in der englischen, da wird einfach das direkt hingeschrieben.

3:26 Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer ist als 1 und sich nicht als Produkt von zwei kleineren Zahlen schreiben lässt. Sich übrigens nicht mehr faktorisieren lässt. Interessant. Und die deutsche Wikipedia hat tatsächlich ne andere Definition, nämlich ne natürliche Zahl, die genau zwei Teile hat. Und das ist wieder so ein mathematisches Beamtenstuben-Deutsch.

3:50 Genau zwei Teile heißt eben genau zwei Teile und nicht einen Teile. Und die 1, wenn die jetzt durch 1 und sich selbst teilbar ist, hat sie nicht genau zwei Teile, sondern nur einen Teile, nämlich die 1, sich selbst. So wird da die 1 ausgeschlossen. So, die arme 1 wurde ausgeschlossen von den Primzahlen.

4:11 Und dem wollte ich jetzt mal ein bisschen auf den Grund gehen. Man kann das zum Beispiel mal historisch betrachten. Denn die 1 ist noch nicht immer keine Primzahl. Also das Konzept der Primzahlen ist schon lange bekannt und geht auch weit zurück. Schon so die griechische Mathematik kommt im Prinzip direkt mit der Multiplikation.

4:27 Und bei der griechischen Mathematik wurde aber die 1 noch anders behandelt als andere positive Zahlen. Die war vielleicht sogar gar keine Zahl oder gar keine richtige Zahl. Da war die 1 eher so ne Art Einheit. Das Atom der Zahlen, aus denen alle Zahlen dann zusammengesetzt werden. Und das meinen die dann natürlich irgendwie additiv.

4:47 Also 2 besteht eben aus zwei Einsen. Und deswegen verhält sich die 1 irgendwie anders. Und wenn man Zahlentheorie machte, hatte man über die 1 in dem Sinne nicht mehr viel zu sagen, außer dass sie die Quelle aller Zahlen ist. Und bezüglich der Multiplikation verhält sich die 1 ja neutral. Also mit 1 multiplizieren macht einfach gar nichts.

5:09 Selbst berühmte Zahlentheoretiker innen wie G. H. Hardy hatten noch bis ins 20. Jahrhundert hinein die 1 als Primzahl mit auf dem Schirm. Also in einem Zahlentheorie-Lehrbuch, was so Anfang des 20. Jahrhunderts erschienen ist, findet man auch noch die 1 als Primzahl manchmal. Und das führt uns darauf, dass wir uns in der Mathematik über die Definitionen aussuchen können, wie bestimmte Dinge sind und wie bestimmte Dinge heißen. Und das haben wir eben schon bei den 2 Wikipedia-Definitionen gesehen. Die sind unterschiedlich.

5:45 Also die englische Wikipedia hat eine andere Definition als die deutsche Wikipedia. Und die sind nicht nur unterschiedlich in dem Fall, dass sie die englische Definition, die 1, direkt ausschließt, sondern auch inhaltlich unterschiedlich. Ich erinnere nochmal, die eine Definition war, 1 hin oder her, eine Zahl, die nicht sich als Produkt von 2 kleineren Zahlen schreiben lässt.

6:07 Und die andere Definition war, eine Zahl, die nur genau 2 Teile hat. Und das sind 2 unterschiedliche Dinge. Denn wenn ich zum Beispiel überprüfen will, ob die Zahl 12 eine Primzahl ist, dann sagt mir die 1. Definition, nein, die ist keine Primzahl, weil ich die als 6 mal 2 schreiben kann. Und die 2. Definition sagt mir auch, die ist keine Primzahl, weil sie noch einen Teiler hat, außer...

6:33 Wenn ich 3 Teiler von ihr angebe, weiß ich's, und dann haben wir den Teiler 1, den Teiler 12 und den Teiler 6 und den Teiler 2 und den Teiler 3 und den Teiler 4 haben wir auch noch, sind also mehr als genau 2 Teiler. Also aus unterschiedlichen Gründen sehe ich an diesen 2 Definitionen, dass die 12 keine Primzahl ist.

6:51 Da stellt sich natürlich die Frage, ergeben die 2 Definitionen wirklich das gleiche Konzept? Und dem ist so, also da könnt ihr euch sicher sein, aber wir sehen hier schon, dass die Frage, wie mache ich eine Definition, auch eine Komponente hat, Geschmackssache. Wie ist meine Definition am nützlichsten? Wie ist meine Definition am sinnvollsten? Wie ist meine Definition am elegantesten?

7:19 Solche Dinge spielen mit herein, und die sind eben in unterschiedlichen Sprachen, wie Deutsch, Englisch, Ungarisch oder Finnisch oder Swahili, unterschiedlich. Begriffe von Eleganz, Denkweisen können in unterschiedlichen Sprachen unterschiedlich sein. So, dann hat man jetzt nicht nur die sprachliche Komponente, man hat natürlich auch eine mathematische Komponente. Also ob die 1 eine Primzahl sein soll oder nicht, das ist ja keine sprachliche Wahl, sondern das ist eine mathematische Wahl. In beiden Fällen wurde die 1 ausgeschlossen. Warum das so ist, das führt man meistens auf diesen Fundamentalsatz der Arithmetik zurück, den kennen wahrscheinlich auch viele, nämlich, dass jede natürliche Zahl

8:05 sich schreiben lässt auf eindeutige Art und Weise als Produkt von Primzahlen. Und diese Eindeutigkeit bedeutet, dass ich kann natürlich die Reihenfolge dieser Primfaktoren verändern, aber welche Faktoren wie oft vorkommen, ist immer gleich. Nehmen wir mal die 40 als eine natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, dann kann ich die schreiben als 2 mal 20. Da habe ich diese Faktorzerlegung entdeckt und weiß, dass es keine Primzahl ist. Die 2 ist eine Primzahl, aber die 20 kann ich weiter zerlegen als 2 mal 10, die 10 als 2 mal 5 und dann bin ich fertig.

8:45 Also habe ich 2 mal 2 mal 2 mal 5. Ich könnte aber auch anders anfangen. Die 40 ist 5 mal 8 und dann die 8 zerlegen. Dann bekomme ich 5 mal 2 mal 2 mal 2. Wieder das Gleiche, nur in einer anderen Reihenfolge. Und jetzt könnte man sich natürlich fragen, und das ist nicht klar, ob es nicht vielleicht auch noch eine andere Zerlegung gibt, die nicht 3, 2 und eine 5 nutzt. Bei der 40 kann man sich das leicht überlegen, indem man die Faktorisierung durchgeht, aber wenn die Zahl jetzt mal 738 Gazillionen Stellen hat, sind solche experimentellen Methoden natürlich nicht zugänglich.

9:25 Aber der Fundamentalsatz der Arithmetik sagt uns eben, dass das so ist. Jede Zahl hat eine Primfaktorzerlegung und sie ist bis auf dieses Ändern der Reihenfolge eindeutig. Wenn jetzt die einzelne Primzahl wäre, hätten wir da ein Problem. Denn 1 mal 2 mal 2 mal 2 mal 5 ergibt auch 40. Und die 1 kann ich kostenlos, sozusagen ohne das Produkt zu verändern, beliebig oft noch dazuschreiben und hätten wir dann unterschiedliche Primfaktorzerlegungen.

9:57 Und das wird gerne angeführt als der Grund, warum 1 keine Primzahl sein soll, warum man die Definition eben so macht, dass der Fundamentalsatz der Arithmetik sagt, für jede natürliche Zahl gibt es eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Wenn man die 1 als Primzahl zulassen würde, müsste man eben eine Ausnahme einführen.

10:19 Für jede natürliche Zahl gibt es eine eindeutige Primfaktorzerlegung, die 1 nicht benutzt. So könnte man den Satz, der Satz ist immer noch richtig, er spricht eben über die Faktorzerlegung, die reduziert sind, wo man die überflüssigen Einsen weggelassen hat. Der Satz ist fundamental und auch gar nicht so leicht zu beweisen.

10:39 Der Beweis besteht aus zwei Stücken, nämlich der Existenz zu einer Zerlegung, die ist eigentlich relativ einfach, die macht man mit der mathematischen Induktion. Also wenn man so eine natürliche Zahl hat, dann ist die entweder eine Primzahl, wenn die eine Primzahl ist, dann ist sie einfach das Produkt von sich selbst. Das lässt man übrigens auch zu, dass dieses Produkt bei der Primfaktorzerlegung nur aus einer einzigen Primzahl besteht, obwohl man da ja gar keine Multiplikation ausführt, lässt man das auch als Produkt zu. Können wir übrigens noch einen kleinen Exkurs machen in die Randfälle Der Fundamentalsatz der Arithmetik sagt ja auch, dass die 1, jede natürliche Zahl, ein eindeutiges Produkt von Primzahlen ist.

11:23 Was denn jetzt eigentlich mit der 1? Wie kann ich denn die 1 als Produkt von Primzahlen schreiben? Und da kommen wieder Konventionen und Definitionen ins Spiel, die man auf geschickte Art und Weise gemacht hat. Wir haben ja jetzt eben gerade schon akzeptiert, dass das Produkt, wenn ich die Primzahl 11 als Produkt von Primzahlen schreiben will, schreibe ich einfach die 11 hin.

11:43 Die hat einen Primfaktor, nämlich sich selbst und sonst nichts. Also um die 11 als Produkt von Primzahlen zu schreiben, schreibe ich einfach hin 11. Auch wenn da jetzt kein Malzeichen vorkommt, lasse ich das trotzdem als Produkt zu mit einem Faktor. Aber was jetzt mit der 1? Und die 1, die wird definiert als das leere Produkt. Also wenn ich mir ein Produkt erlauben kann, was nur einen Faktor hat, dann kann ich mir vielleicht auch ein Produkt erlauben, was gar keinen Faktor hat.

12:09 Ein Produkt, wo nichts multipliziert wird. Und nicht nur nichts multipliziert wird, wo gar keine Faktoren da sind. Was soll ein Produkt über eine leere Menge sein? Ein Produkt über keine Faktoren? Das ergibt Sinn zu setzen, dass dieses leere Produkt 1 ergibt. Das Neutralelement der Multiplikation. Und deswegen ergibt sich dann die 1 als das Produkt von gar keiner Primzahl.

12:37 Und so sind alle Mengen von Primzahlen auch abgedeckt. Jede Menge von Primzahlen, wenn ich die, sogar jede Multimenge, Menge mit Vielfachheiten, wenn ich die multipliziere, kriege ich irgendeine natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl lässt sich faktorisieren in diese Primzahlzerlegung. Und auch die leere Menge von Primzahlen ist dabei.

12:55 Der ergibt die 1. So, das war der Exkurs. Aber eigentlich wollten wir ja sozusagen argumentieren, dass so eine Primfaktorzerlegung von einer natürlichen Zahl immer existiert. Naja, entweder die selbst eine Primzahl. Dann sind wir fertig. Oder lässt sich nach der englischen Definition als Produkt von zwei kleineren Zahlen schreiben.

13:13 Und auf die beiden Zahlen kann ich das Argument dann wieder anwenden. Die sind entweder beide Primzahlen. Dann bin ich fertig, weil ich das ja als Produkt von Primzahlen geschrieben habe, meine Zahl. Oder die können wieder faktorisiert werden. Und so mache ich das immer weiter. Und weil die Zahlen immer kleiner werden, terminiert dieser Prozess. Und ich bekomme am Ende ein Produkt von Primzahlen. Die Eindeutigkeit ist, wenn man ein paar Grundtatsachen wie die Division mit Rest kennt, auch nicht so schwierig. Die funktioniert im Prinzip so, dass man zwei Zerlegungen in Primzahlen hinschreibt und erstmal nicht weiß, ob die gleich sind. Man schreibt seine Zahl n als Produkt von Primzahlen und dann nochmal auf andere Art und Weise,

13:55 potenziell andere Art und Weise als Produkt von Primzahlen. Und dann nimmt man die erste Primzahl von der ersten Zerlegung und die teilt ja das Produkt der anderen Zerlegung. Und dann muss der einen von den Faktoren teilen. Und die Faktoren sind alle Primzahlen. Der muss also gleich einem der anderen sein. Und so hangelt man sich dann durch. Aber da muss man erstmal ein paar Sachen über Primzahlen noch beweisen. Zum Beispiel, dass wenn die ein Produkt teilen, dass sie dann einen der Faktoren teilen. Und dafür braucht man eben die Division mit Rest.

14:23 Okay, das könnt ihr alles in tollen YouTube-Videos euch anschauen. Und ich will gar nicht mehr so drüber reden. Für mich ist das Interessante, dass man eben die Definition angepasst hat. Also im Lauf der Geschichte hat man festgestellt, und das ist, glaube ich, der große Trend, das ist dieser Wunsch zur Vereinheitlichung und zur Eleganz der Mathematik alles aus Grundtatsachen abzuleiten, der im 20.

14:53 Jahrhundert großen Fortschritt gemacht hat, der dazu führte, die Sachen durchzugehen, die ganze Mathematik durchzugehen und die Definitionen zu bereinigen, die Definitionen so elegant wie möglich zu machen, sodass die Sätze möglichst einfach sind. Und manchmal gibt es da so low-hanging fruit, wie zu erkennen, dass alles einfacher wird, dass man weniger Fallunterscheidungen in den Aussagen hat, wenn man 1 nicht als Primzahl zulässt.

15:19 Und anscheinend konnte man das noch reparieren. Oft hat man das Problem, dass Definitionen, wenn sie in der Welt sind, dass man die nicht mehr richtig ändern kann. Also wenn jetzt eine Definition gemacht wurde und damit gearbeitet wurde und man ändert die Definition hinterher nochmal ein kleines bisschen, dann hat man das Problem, dass man immer schauen muss, auf welche Definitionen sich die Arbeiten, die man jetzt benutzt, beziehen. Das kann natürlich zu großem Kuddelmuddel führen und es ist nicht so, dass es solches Kuddelmuddel nie gegeben hätte. Ich kenne zum Beispiel den Begriff der stabilen Äquivalenz, das ist ein Begriff, der betrifft Mengen im reellen Raum, die irgendwie ähnlich sein sollen

16:03 bezüglich einer Konstruktion, auf die ich jetzt hier gar nicht weiter eingehen will. Aber mein ehemaliger Doktorand Tobias Böger hat sich damit beschäftigt mit 5 verschiedenen Definitionen von dieser stabilen Äquivalenz und einer versuchten Vereinheitlichung, die sogar schief gegangen ist. Also manchmal hat man so Begriffe, wo man das Gefühl hat, man weiß, was die Definition tun soll, man hat ein Gefühl dafür, man weiß, wie die Definition sich technisch verhalten soll und trotzdem bekommt man es irgendwie nicht hin. Es kann sogar eine Definition, eine mathematische Erkenntnis sein.

16:37 Also es gibt mathematische Arbeiten, wo die Definition die entscheidende Einsicht ist. Ich habe auch mal so eine geschrieben, in der mein Co-Autor mir damals eine Mail geschickt hatte, dass er einen Fehler in der Definition gefunden hat. Also eigentlich per Definition kann es keinen Fehler in einer Definition geben, denn wir können alles definieren und trotzdem habe ich eine E-Mail in meiner Inbox oder hatte damals eine E-Mail in meiner Inbox, dass mir mein Co-Autor offenbarte, dass er denkt, wir haben noch einen Fehler in einer grundlegenden Definition.

17:11 Und was war der Hintergrund? Der Fehler war in der Definition in dem Sinne, dass die Definition doch nicht genau das tat, was wir vorhatten und die Arbeit in diesem Bereich ging eben rückwärts aus. Wir wussten, was für ein Satz richtig sein soll, wie der Fundamentalsatz der Arithmetik. Man hat den Satz, man weiß über etwas mathematisches Bescheid und man macht die Definition so, dass man diesen Satz gut ausdrücken kann.

17:39 Und deswegen kann es auch einen Fehler in der Definition geben und deswegen kann auch eine Definition die wichtigste Hinsicht von einer mathematischen Forschungsarbeit sein. Nun ist es so, dass man manchmal die Definition richtig machen kann und manchmal kann man es auch nicht. Und ein Beispiel davon ist die Primzahl 2.

17:57 Die Primzahl 2 hat nämlich eine kuriose Eigenschaft, die ist gerade. Die geraden Zahlen sind ja genau die, die durch 2 teilbar sind. Und wenn man jetzt irgendeine gerade Zahl hat, die nicht 2 ist, dann kann die nicht prim sein, weil sie durch 2 teilbar ist und die 2 umgeht dieses Problem, weil sie selbst die 2 ist. Wenn sie durch 2 teilbar ist, tut das nichts daran, dass sie eine Primzahl ist. Sie ist die kleinste Primzahl und sie ist die einzige Primzahl, die gerade ist. Und jetzt ist es in der Zahlentheorie so, dass es viele Sätze gibt, die einen Unterschied machen, ob man die 2 betrachtet als eine Primzahl in dem Satz oder eine andere Primzahl.

18:37 Und die fangen dann immer an mit p, eine ungerade Primzahl. Und da hat man sich für diese Formulierung ulsei p, eine ungerade Primzahl entschieden, um auszudrücken, dass eine Fallunterscheidung stattfindet. Der Satz gilt nur für Primzahlen, die nicht 2 sind. Und wenn man aber den Fundamentalsatz der Arithmetik hat und dafür die Primzahl 2 definitiv als Primzahl braucht, konnte man sich an dieser Stelle nicht mehr dafür entscheiden, dass 2 jetzt keine Primzahl sein soll, um den Satz eleganter zu machen.

19:09 Also in den Folgesätzen, die für alle Primzahlen, für alle ungeraden Primzahlen gelten, konnte man nicht mehr 2 einfach als Nicht-Primzahl deklarieren und dann den Satz für alle Primzahlen formulieren, sondern musste darauf ausweichen, den Satz für alle ungeraden Primzahlen zu formulieren. Und da gibt es diesen schönen Ausspruch auf Englisch, der sagt, 2 is the only prime that's not odd, which makes it the oddest of all primes.

19:41 Und mit diesem kleinen Spruch entlasse ich euch. Ich hoffe, es hat euch gefallen. Wenn dem so ist, empfehlt uns gerne weiter. Was ja anscheinend auch einige getan haben, eine erfreuliche Entwicklung der Downloadzahlen könnte natürlich auch dafür sprechen, dass sich einfach alle neue Geräte gekauft haben, die jetzt die ganzen Folgen nochmal herunterladen, aber vielleicht hat sich ja auch die eine oder andere neue Hörerin hierher verirrt.

20:07 Dann begrüße ich euch und hoffe, es macht Spaß und wenn es das tut, empfehlt uns gerne weiter. So, dann war's das für heute. Bis bald mal wieder im Eigenraum. Tschüß! Ach ja, und hört euch Lehrbuch-Netzpolitik an. Das ist wirklich toll und wichtig.